HIMPUNANA BILANGAN

A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda dengan ciri-ciri tertentu. Objek atau benda
yang termasuk dalam himpunan ini disebut anggota, unsur dan elemen himpunan. Suatu himpunan
dapat ditentukan dengan menyajikan daftar anggotanya atau dengan menyebutkan ketentuan khusus
yang menetapkan apakah sesuatu objek atau benda termasuk anggota himpunan atau bukan. Nama
lain untuk anggota himpunan adalah elemen unsur dan untuk menyatakan anggota suatu himpunan.
Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen
dilambangkan dengan , sedangkan untuk menyatakan bahwa suatu benda atau objek bukan anggota
suatu himpunan digunakan lambang .
B. CARA PENDEFINISIAN HIMPUNAN
Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara yaitu:
a. Mendaftarkan semua anggotanya
A=
B=
b. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
Contoh:
Berdasarkan contoh a diatas maka dapat didefinisikan:
A= Himpunan vokal dalam abjad latin
B=Himpunan bilangan cacah kurang dari tujuh
c. Menyatakan sifat dengan pola
3
Contoh:
P=
Q=
Catatan: penafsiran himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus hati-hati
agar tidak menimbulkan tafsiran lain.
d. Menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh:
P=
Maksudnya P=
Q=
Maksudnya Q=
C. NOTASI
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, E dan sebagainya. Untuk
menyatakan suatu himpunan dinyatakan simbol . Sementara itu untuk melambangkan anggota
himpunan biasanya huruf kecil a, b, c, d, e, x, y dan sebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan
anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja. Jadi tidak boleh menuliskan himpunan sebagai .
Demikian pula tidak boleh menyatakan himpunan sebagai . Untuk menyatakan anggota-anggota suatu
himpunan digunakan lambang ( baca; anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu
himpunan digunakan lambang ( baca; bukan anggota).
Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan
harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan
yang umum dipakai.
4
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Elemen
himpunan
Huruf kecil (jika merupakan
huruf)
a
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil,
bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli
Bula
t
Rasional
Rii
l
Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
{}
atau
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa
D. JENIS-JENIS HIMPUNAN BILANGAN
1)
5
Himpunan Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
merupakan bilangan bulat positif.
R= {1, 2, 3, 3, 4, 5, . . . . . . }
2) Himpunan Bilangan Prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat
dibagi dengan dirinya sendiri dan satu kecuali angka 1(satu).
B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . . . . . }
3) Himpunan Bilangan Cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . . . . }
4) Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang seluruh anggotanya bilangan
bulat, baik negatif, nol dan positif.
Z = { . . . . . , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . }
5) Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai dimana p, q I bulat dan q’o atau dapat
dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh: 0, -3, , 4, , dan lain-lain
6) Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak
dapat dinyatakan sebagai atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
6
Contoh: log 2, e, 7
7) Himpunan Bilangan Riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
Contoh: log 10, 5/ 8, -3, 0, 3
8) Himpunan Bilangan Imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
merupakan (satuan imajiner) dimana merupakan lambang bilangan baru yang sifatnya =
-1
Contoh: , 3
9) Himpunan Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya ( )
dimana , Dengan bagian riil dan bagian imajiner.
Contoh: 4 Himpunan
10) Himpunan Kosong (Empety Set)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan
dengan atau
Contoh: A= Pembalap nasional yang menjuarai Formula 1
A=
11) Himpunan kuasa
Himpunan kuasa adalah himpunan dari semua sub himpunan yang dibuat dari sebuah
himpunan. Notasinya adalah dimana adalah jumlah anggota himpunan
Contoh: A=
Maka
12)
7
Himpunan semesta (Universal Set)
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang
dibicarakan. Dilambangkan dengan .
Contoh: U=Alpabet
U=
13) Himpunan Tunggal
Himpunan tunggal adalah himpunan yang memiliki satu anggota.
Contoh: A=Presiden RI yang pertama
A=
E. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN
1) Himpunan Bagian / Subset
Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah
anggota B. Notasi: . Ditulis:
Contoh:
Maka:
2) Himpunan Sama
Dua himpunan dan adalah sama, jika setiap elemen adalah elemen , dan setiap elemen
adalah . Notasi: .Ditulis
Contoh:M=
N
Maka:
3)
8
Himpunan Lepas
Dua himpunan dan disebut saling lepas, jika himpunan tidak mempunyai anggota
persatuan dengan himpunan . Notasi: . Ditulis:
Contoh:
Maka:
4) Himpunan Ekuvalen
Himpunan dikatakan ekuvalen dengan jika banyak anggota sama dengan banyaknya
anggota
Contoh:
Maka:
5) Himpunan Kuasa/ Superset
Himpunan superset jika setiap anggota merupakan anggota .
Contoh:
Maka:
6) Himpunan Berpotongan/ Joint
Himpunan dan berpotongan jika dan mempunyai anggota persekutuan dan anggota
yang bukan persekutuan.
Contoh:
Maka
F. OPERASI HIMPUNAN
1) Gabungan / Union
9
Gabungan himpunan dan adalah himpunan yang terdiri dari anggota ditambah anggota .
Contoh:
Maka:
2) Irisan/ Interseksi
Irisan himpunan dan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota
persekutuan
Contoh :
Maka:
3) Selisih
10
Selisih himpunan dan adalah himpunan yang merupakan anggota tetapi bukan anggota .
Contoh:
Maka:
4) Komplemen
Himpunan komplemen dari adalah anggota himpunan semesta selain anggota .
Contoh:
Maka:
G. Diagram Venn
Diagram Venn adalah gambar himpunan yang sangat bermanfaat dan memudahkan
untuk menunjukkan himpunan-himpunan serta hubungan antara beberapa himpunan dalam
semesta pembicaraan tertentu. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan diagram
Venn adalah sebagai berikut.
1. Himpunan semesta biasanya dinyatakan atau digambarkan dengan daerah persegi
panjang.
2. S yang menjadi simbol himpunan semesta ditulis pada salah satu sudutnya, biasanya
sudut kiri atas daerah persegipanjang.
3. Setiap himpunan lain yang dibicarakan (selain himpunan kosong) digambarkan
dengan lingkaran (kurva tertutup).
4. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik). Anggota himpunan ditulis dekat
noktah tersebut.
5. Jika anggota suatu himpunan banyak sekali, atau himpunan tak berhingga, maka
masing-masing anggota himpunan tidak perlu digambarkan (dituliskan) dengan suatu
noktah.
Contoh:
1.
11
Perhatikan gambar berikut.
S
.4
.6
.1
.2
.3
.5
.7
.8
.9
.0
.10
.11
A
B
Berdasarkan gambar diatas tentukan anggota himpunan:
a. S
b. A
c. B
d.
e.
f.
Jawab:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Gambarlah diagram venn berdasarkan informasi berikut:
Jawab:
12
.apel
.pisang
A
.apel
.pisang
.mangga
.rambutan
.jeruk
S
H. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1) Komutatif
Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku dan juga
2) Asosiatif
Diberikan himpunan A, B dan C. Maka berlaku dan juga
3) Idempoten
Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku dan juga
4) Identitas
Diberikan himpunan A dalam himpunan semesta S. Maka dan juga
5) Distributif
Diberikan himpunan A, B dan C. Maka dan juga
6) Komplementer
Diberikan suatu himpunan A dalamsemesta S. Maka dan
7)
13
Dalil De Morgan
Diberikan himpunan A dan B. Maka dan
I. KARDINALITAS
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen
yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan
{sapi,kuda,kerbau,kambing} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4.
Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas
yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi
korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi
yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut
memiliki kardinalitas yang sama.
1) Himpunan Denumirabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan
asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut
disebut sebagai kardinalitas .
14
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki
korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan
oleh .
2) Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka
himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
3) Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
4) Himpunan Non-denumirabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari
himpunan ini adalah himpunan semua bila ngan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini
disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat
menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga
memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut
dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .